همبستگی محصول پیرسون

ضریب همبستگی محصول پیرسون (یا ضریب همبستگی پیرسون ، به طور خلاصه) اندازه گیری استحکام یک ارتباط خطی بین دو متغیر است و توسط r مشخص می شود. اساساً ، یک همبستگی محصول پیرسون در تلاش است تا از طریق داده های دو متغیر ، خطی از بهترین تناسب را ترسیم کند ، و ضریب همبستگی پیرسون ، R ، نشان می دهد که همه این نقاط داده تا چه حد دور از این خط از بهترین هاست (یعنی چگونه ، چگونهخوب نقاط داده متناسب با این مدل/خط جدید از بهترین تناسب).

ضریب همبستگی پیرسون چه مقداری می تواند داشته باشد؟

ضریب همبستگی پیرسون ، R ، می تواند طیف وسیعی از مقادیر را از 1 تا 1 به 1 برساند. مقدار 0 نشان می دهد که هیچ ارتباطی بین دو متغیر وجود ندارد. مقدار بیشتر از 0 نشانگر یک ارتباط مثبت است. یعنی با افزایش مقدار یک متغیر ، مقدار متغیر دیگر نیز همینطور است. مقدار کمتر از 0 نشانگر ارتباط منفی است. یعنی با افزایش مقدار یک متغیر ، مقدار متغیر دیگر کاهش می یابد. این در نمودار زیر نشان داده شده است:

چگونه می توان قدرت ارتباط را بر اساس ضریب همبستگی پیرسون تعیین کرد؟

هرچه ارتباط این دو متغیر قوی تر باشد ، ضریب همبستگی پیرسون ، R ، بسته به اینکه رابطه مثبت یا منفی باشد ، به 1 ی ا-1 خواهد بود. دستیابی به یک مقدار 1+ ی ا-1 به این معنی است که تمام نقاط داده شما در خط بهترین تناسب گنجانده شده اس ت-هیچ نقطه داده ای وجود ندارد که هیچ گونه تغییر را به دور از این خط نشان دهد. مقادیر R بین 1+ و-1 (به عنوان مثال ، r = 0. 8 ی ا-0. 4) نشان می دهد که در اطراف خط بهترین تناسب تنوع وجود دارد. هرچه مقدار R به 0 نزدیکتر باشد ، تغییر در اطراف خط بهترین تناسب بیشتر است. روابط مختلف و ضرایب همبستگی آنها در نمودار زیر نشان داده شده است:

به 10،000 دانشجو ، دانشگاهیان و متخصصانی که به آمار لائرد اعتماد دارند بپیوندید. Tourplans و قیمت گذاری را بگیرید

آیا دستورالعمل هایی برای تفسیر ضریب همبستگی پیرسون وجود دارد؟

بله ، دستورالعمل های زیر پیشنهاد شده است:

به یاد داشته باشید که این مقادیر دستورالعمل هستند و اینکه آیا یک ارتباط قوی است یا خیر ، به آنچه اندازه گیری می کنید نیز بستگی دارد.

آیا می توانید از هر نوع متغیر برای ضریب همبستگی پیرسون استفاده کنید؟

خیر ، دو متغیر باید در مقیاس فاصله یا نسبت اندازه گیری شوند. با این حال ، هر دو متغیر نیازی به اندازه گیری در همان مقیاس ندارند (به عنوان مثال ، یک متغیر می تواند نسبت باشد و یکی می تواند فاصله باشد). اطلاعات بیشتر در مورد انواع متغیر را می توان در انواع راهنمای متغیر ما یافت. اگر داده های نظم دارید ، می خواهید به جای همبستگی محصول پیرسون-لحظه ای ، از همبستگی مرتبه ای Spearman یا یک همبستگی تاو کندال استفاده کنید.

آیا این دو متغیر باید در همان واحدها اندازه گیری شوند؟

خیر ، دو متغیر را می توان در واحدهای کاملاً متفاوت اندازه گیری کرد. به عنوان مثال ، شما می توانید سن فرد را با سطح قند خون خود در ارتباط باشید. در اینجا ، واحدها کاملاً متفاوت هستند. سن در سالها اندازه گیری می شود و میزان قند خون در MMOL/L (اندازه گیری غلظت) اندازه گیری می شود. در واقع ، محاسبات مربوط به ضریب همبستگی پیرسون به گونه ای طراحی شده است که واحدهای اندازه گیری در محاسبه تأثیر نمی گذارد. این اجازه می دهد تا ضریب همبستگی قابل مقایسه باشد و تحت تأثیر واحدهای متغیرهای مورد استفاده قرار نگیرد.

در مورد متغیرهای وابسته و مستقل چیست؟

همبستگی محصول پیرسون در نظر نمی گیرد که آیا یک متغیر به عنوان یک متغیر وابسته یا مستقل طبقه بندی شده است. با تمام متغیرها به طور مساوی رفتار می کند. به عنوان مثال ، شما ممکن است بخواهید دریابید که آیا عملکرد بسکتبال با قد شخص ارتباط دارد یا خیر. بنابراین ممکن است شما نمودار عملکرد را در برابر ارتفاع ترسیم کرده و ضریب همبستگی پیرسون را محاسبه کنید. بیایید مثلاً R = 0. 67 بگوییم. یعنی با افزایش ارتفاع ، عملکرد بسکتبال نیز انجام می شود. این منطقی است. با این حال ، اگر ما متغیرها را از راه دیگر ترسیم کردیم و می خواستیم تعیین کنیم که آیا ارتفاع شخص با عملکرد بسکتبال آنها تعیین شده است (که هیچ معنا ندارد) ، ما باز هم = 0. 67 را بدست می آوریم. این امر به این دلیل است که ضریب همبستگی پیرسون هیچ گونه نظریه ای را در مورد اینکه چرا شما دو متغیر را برای مقایسه انتخاب کرده اید ، بیان نمی کند. این در زیر نشان داده شده است:

آیا ضریب همبستگی پیرسون شیب خط را نشان می دهد؟

این مهم است که درک کنیم که ضریب همبستگی پیرسون ، R ، شیب خط بهترین تناسب را نشان نمی دهد. بنابراین ، اگر ضریب همبستگی پیرسون 1+ را بدست آورید ، این بدان معنا نیست که برای هر واحد افزایش یک متغیر ، یک واحد در دیگری افزایش می یابد. این بدان معناست که بین نقاط داده و خط بهترین تناسب هیچ تغییری وجود ندارد. این در زیر نشان داده شده است:

همبستگی پیرسون چه فرضیاتی را ایجاد می کند؟

اولین و مهمترین مرحله قبل از تجزیه و تحلیل داده های خود با استفاده از همبستگی پیرسون ، بررسی اینکه آیا استفاده از این آزمایش آماری مناسب است یا خیر. از این گذشته ، همبستگی پیرسون فقط در صورت طراحی مطالعه و داده های "عبور/ملاقات" هفت فرضیه که زیربنای همبستگی پیرسون است ، نتایج معتبر/دقیق به شما می دهد.

در بسیاری از موارد ، همبستگی پیرسون آزمایش آماری نادرست خواهد بود زیرا داده های شما "یک یا چند مورد از این فرضیات را نقض نمی کند". این غیر معمول نیست هنگام کار با داده های دنیای واقعی ، که اغلب "کثیف" است ، بر خلاف نمونه های کتاب درسی. با این حال ، غالباً یک راه حل وجود دارد ، خواه این شامل استفاده از یک آزمایش آماری متفاوت باشد ، یا تنظیمات داده های شما را تنظیم کند تا بتوانید از همبستگی پیرسون استفاده کنید.

ما به طور خلاصه هفت فرضیه زیر را بیان کردیم ، سه مورد از آنها مربوط به طراحی مطالعه شما و نحوه اندازه گیری متغیرهای خود (یعنی فرضیات شماره 1 ، شماره 2 و 3 در زیر) و چهار موردی است که مربوط به ویژگی های داده های شما است (یعنی، فرضیات #4 ، #5 ، #6 و #7 در زیر):

توجه: ما هفت فرضیه را در زیر ذکر می کنیم ، اما در ادبیات آمار اختلاف نظر وجود دارد که آیا باید از اصطلاح "فرضیات" برای توصیف همه این موارد استفاده شود (به عنوان مثال ، به Nually ، 1978 مراجعه کنید). ما این نکته را برای شفافیت برجسته می کنیم. با این حال ، ما از کلمه "فرضیات" برای تأکید بر اهمیت آنها استفاده می کنیم و نشان می دهیم که اگر می خواهید نتایج دقیق و معتبری داشته باشید ، باید هنگام استفاده از همبستگی پیرسون از نزدیک مورد بررسی قرار گیرد. ما همچنین از کلمه "فرضیات" استفاده می کنیم تا نشان دهیم که در جایی که برخی از این موارد برآورده نمی شوند ، همبستگی پیرسون دیگر آزمایش آماری صحیح برای تجزیه و تحلیل داده های شما نخواهد بود.

• فرض شماره 1: دو متغیر شما باید در مقیاس مداوم اندازه گیری شود (به عنوان مثال ، آنها در فاصله یا سطح نسبت اندازه گیری می شوند). نمونه هایی از متغیرهای مداوم شامل زمان تجدید نظر (اندازه گیری در ساعت) ، هوش (اندازه گیری شده با استفاده از نمره ضریب هوشی) ، عملکرد امتحان (اندازه گیری از 0 تا 100) ، وزن (اندازه گیری شده در کیلوگرم) ، سرعت رانندگی (اندازه گیری در کیلومتر در ساعت) و غیرهبشرفرض شماره 2: دو متغیر مداوم شما باید جفت شوند ، به این معنی که هر مورد (به عنوان مثال ، هر شرکت کننده) دارای دو مقدار است: یکی برای هر متغیر. این "مقادیر" نیز به عنوان "نقاط داده" گفته می شود.

   

به عنوان مثال ، اگر برخی از 100 دانش آموز در یک گروه مطالعات تجدید نظر قرار داشتند ، ممکن است انتظار داشته باشیم که رابطه بین زمان تجدید نظر و عملکرد امتحان برای آن دانش آموزان در مقایسه با سایر دانشجویان شبیه به هم باشد و استقلال فرض موارد را نقض می کند. از طرف دیگر ، اگر برخی از 100 دانش آموز شامل خواهران و برادران (به عنوان مثال ، دو خواهر) بودند ، ممکن است انتظار داشته باشید که رابطه بین زمان تجدید نظر و عملکرد امتحان آن دو خواهر در مقایسه با سایر دانش آموزان مشابه باشد و دوباره استقلال فرض را نقض می کند.

توجه: استقلال فرض موارد نیز به عنوان استقلال فرض مشاهدات شناخته می شود.

از آنجا که فرضیات شماره 1 ، شماره 2 و 3 مربوط به طرح مطالعه شما و نحوه اندازه گیری متغیرهای خود است ، اگر هیچ یک از این سه فرض برآورده نشوند (یعنی اگر هر یک از این فرضیات با تحقیقات شما مطابقت نداشته باشد) ، همبستگی پیرسون این استآزمون آماری نادرست برای تجزیه و تحلیل داده های شما. این احتمال وجود دارد که آزمایش های آماری دیگری نیز وجود داشته باشد که می توانید به جای آن استفاده کنید ، اما همبستگی پیرسون آزمایش صحیح نیست.

پس از بررسی اینکه آیا طراحی و متغیرهای مطالعه شما فرضیات شماره 1 ، شماره 2 و #3 را برآورده می کند ، اکنون باید بررسی کنید که آیا داده های شما نیز فرضیات شماره 4 ، شماره 5 ، #6 و #7 را در زیر مشاهده می کند. هنگام بررسی اینکه آیا داده های شما این چهار فرض را برآورده می کند ، تعجب نکنید اگر این روند بیشتر زمانی را که شما به انجام تجزیه و تحلیل خود اختصاص می دهید ، طول بکشد. همانطور که در بالا به آن اشاره کردیم ، غیر معمول نیست که یک یا چند مورد از این فرضیات هنگام کار با داده های دنیای واقعی به جای نمونه های کتاب درسی ، نقض شود (یعنی ملاقات نکنید). با این حال ، با راهنمایی صحیح ، این نیازی به یک روند دشوار نیست و اغلب تکنیک های تجزیه و تحلیل آماری دیگری وجود دارد که می توانید انجام دهید که به شما امکان می دهد تا با تجزیه و تحلیل خود ادامه دهید.

توجه: اگر دو متغیر مداوم و زوج شما (به عنوان مثال ، فرضیات شماره 1 و 2) از توزیع عادی دو متغیره پیروی می کنند ، خطی بودن ، عادی بودن یک متغیره و همسایه وجود خواهد داشت (به عنوان مثال ، فرضیات شماره 4 ، #5 و #6 در زیر ؛ به عنوان مثال ، Lindemanو همکاران ، 1980). متأسفانه ، فرض عادی بودن دو متغیره بسیار دشوار است ، به همین دلیل به جای آن ، ما روی خطی بودن و عادی بودن یک متغیره تمرکز می کنیم. آزمایش همسایگی نیز دشوار است ، اما ما این را درج می کنیم تا بدانید که چرا مهم است. ما در پایان شامل Outliers هستیم (یعنی فرض شماره 7) زیرا آنها فقط نمی توانند منجر به نقض خطی و فرضیات عادی بودن یک متغیره شوند ، اما آنها همچنین تأثیر زیادی بر ارزش ضریب همبستگی پیرسون دارند ، R (به عنوان مثال ، Wilcox ، 2012).

• فرض شماره 4: باید بین دو متغیر مداوم شما رابطه خطی برقرار شود. برای آزمایش دیدن اینکه آیا دو متغیر شما یک رابطه خطی را تشکیل می دهند ، شما به سادگی باید آنها را روی یک نمودار (به عنوان مثال یک پراکندگی) ترسیم کنید و از لحاظ بصری شکل نمودار را بازرسی کنید. در نمودار زیر چند نمونه مختلف از یک رابطه خطی و برخی از روابط غیر خطی پیدا خواهید کرد. تجزیه و تحلیل یک رابطه غیرخطی با استفاده از همبستگی محصول پیرسون-لحظه مناسب نیست.

   

توجه: ضریب همبستگی پیرسون اندازه گیری قدرت یک ارتباط خطی بین دو متغیر است. به عبارت دیگر ، تعیین می کند که آیا یک مؤلفه خطی از ارتباط بین دو متغیر مداوم وجود دارد یا خیر. به همین ترتیب ، خطی بودن کاملاً "فرض" همبستگی پیرسون نیست. با این حال ، شما به طور معمول نمی خواهید از همبستگی پیرسون برای تعیین قدرت و جهت یک رابطه خطی استفاده کنید وقتی که می دانید رابطه بین دو متغیر خود خطی نیست. درعوض ، رابطه بین دو متغیر شما ممکن است بهتر توسط یک اقدام آماری دیگر توصیف شود (کوهن ، 2013). به همین دلیل ، دیدن رابطه بین دو متغیر خود در یک پراکنده غیر معمول نیست که ببینیم آیا همبستگی پیرسون بهترین انتخاب به عنوان اندازه گیری ارتباط است یا اینکه آیا یک اندازه دیگر بهتر خواهد بود.

فرض شماره 5: از نظر تئوری ، هر دو متغیر مداوم باید از توزیع عادی دو متغیره پیروی کنند ، اگرچه در عمل اغلب پذیرفته می شود که داشتن نرمال بودن یک متغیره در هر دو متغیر کافی است (یعنی ، هر متغیر به طور عادی توزیع می شود). هنگامی که یک یا هر دو متغیر به طور معمول توزیع نمی شود ، اختلاف نظر در مورد اینکه آیا همبستگی پیرسون هنوز نتیجه معتبری ارائه می دهد (یعنی ، اختلاف نظر در مورد اینکه آیا همبستگی پیرسون "قوی" برای نقض عادی یک متغیره است) وجود دارد. اگر استدلال هایی را که همبستگی پیرسون به دلیل عدم وجود عادی بودن یک متغیره در یک یا هر دو متغیر قوی است ، قبول نمی کنید ، روشهای قوی تری وجود دارد که به جای آن می توان در نظر گرفت (به عنوان مثال ، به Shevlyakov و Oja ، 2016 مراجعه کنید).

توجه: اختلاف نظر در مورد استحکام همبستگی پیرسون بر اساس فرضیات اضافی است که برای توجیه استحکام تحت غیر طبیعی بودن و اینکه آیا این فرضیات اضافی احتمالاً در عمل صادق است ، انجام می شود. برای مطالعه بیشتر در مورد این موضوع ، به عنوان مثال ، Edgell و Noon (1984) و Hogg and Craig (2014) را ببینید.

فرض شماره 6: باید همجنسگرایان وجود داشته باشد ، به این معنی که واریانس در امتداد خط بهترین تناسب مشابه با حرکت در امتداد خط باقی می مانند. اگر واریانس مشابه نباشد ، ناهمگونی وجود دارد. همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است ، همجنسگرایی به راحتی از لحاظ نمودار نشان داده می شود:

متأسفانه ، آزمایش همسایگی در همبستگی پیرسون دشوار است ، اما جایی که شما معتقدید که این ممکن است یک مشکل باشد ، روشهایی وجود دارد که ممکن است بتوانند به آنها کمک کنند (به عنوان مثال ، برای برخی از روشهای پیشرفته به Wilcox ، 2012 مراجعه کنید).

فرض شماره 7: نباید از خارج از کشور یک متغیره یا چند متغیره وجود داشته باشد. Outlier یک مشاهده در نمونه شما است که از الگوی مشابهی با بقیه داده های شما پیروی نمی کند. به یاد داشته باشید که در همبستگی پیرسون ، هر مورد (به عنوان مثال ، هر شرکت کننده) دارای دو مقدار/مشاهده (به عنوان مثال ، یک مقدار برای زمان تجدید نظر و نمره امتحان) خواهد بود. شما باید مسافت های غیر معمول را فقط در یک متغیر ، معروف به "Outliers یک متغیره" و همچنین مواردی که "ترکیبی" غیرمعمول از هر دو متغیر است ، که به عنوان "Outliers چند متغیره" شناخته می شوند ، در نظر بگیرید.

نمونه زمان تجدید نظر و نمره امتحان را در نظر بگیرید. اگر همه دانشجویان دانشگاه در امتحان خود بین 45 ٪ تا 95 ٪ به جز کسی که 5 ٪ در امتحان خود کسب کرده است ، به ثمر برسد ، این فرد یک فرد متغیره "یک متغیره" خواهد بود. یعنی آنها بدون توجه به مقادیر متغیر دیگر ، زمان تجدید نظر ، نمره غیرمعمول برای این متغیر خاص دارند. یک دور از چند متغیره یک چیز مهم است که "روند" داده ها را "به وجود می آورد. یک دوربینی چند متغیره نیازی به یک فرد متغیره ندارد. بیایید فرض کنیم که زمان تجدید نظر با نمره امتحان ارتباط مثبت دارد (یعنی هرچه دانش آموز بیشتر تحصیل کند ، علامت امتحان آنها بالاتر است). اگر یک دانشجوی دانشگاه تقریباً هیچ تحصیلی انجام نداد ، اما امتحان را "ACED" می کرد ، آنها یک فرد متغیره چند متغیره خواهند بود. برعکس ، اگر کسی بیش از بیشتر مورد تجدید نظر قرار بگیرد ، اما به شدت گلزنی می کند ، ممکن است یک فرد متغیره چند متغیره باشد.

به عنوان مثال ، تصور کنید که یکی از 100 دانشجویان دانشگاه در امتحان خود 5 از 100 امتیاز کسب کرده است. نمره امتحان 5 از 100 ما در مقایسه با 99 دانش آموز دیگر غیرمعمول خواهد بود ، در حالی که 99 دانش آموز دیگر همگی در امتحان خود در جایی بین 45 تا 95 از 100 امتیاز کسب کردند. بنابراین ، این یک "یک فرد متغیره" خواهد بود. به عبارت دیگر ، دانش آموز بدون توجه به آنچه در متغیر دیگر ، "زمان تجدید نظر" داشت ، نمره غیرمعمول برای این متغیر خاص با عنوان "نمره امتحان" دارد. از طرف دیگر ، یک "دورتر چند متغیره" یک چیز مهم است که "روند" داده ها را نشان می دهد. همچنین ، یک دوربینی چند متغیره نیازی به یک فرد متغیره ندارد. بنابراین ، فرض کنیم که میزان زمانی که یک دانش آموز صرف تجدید نظر در آن می کند با نمره امتحان آنها ارتباط مثبت دارد (یعنی هرچه دانشجویی بیشتر باشد ، نمره امتحان آنها بالاتر می رود). اگر دانشجویی تقریباً هیچ تجدید نظر انجام نداد ، اما به بالاترین نمره امتحان دست یافت ، ممکن است آنها یک فرد متغیره چند متغیره باشند. برعکس ، اگر دانش آموز دیگری بیش از بیشتر مورد تجدید نظر قرار بگیرد ، اما به شدت به ثمر می رسد ، ممکن است آنها نیز چند متغیره باشند.

توجه: Outriers لزوماً "بد" نیستند ، اما به دلیل تأثیر آنها بر ضریب همبستگی پیرسون ، R ، که در صفحه بعد مورد بحث قرار گرفته است ، باید مورد توجه قرار گیرد.

شما می توانید بررسی کنید که آیا داده های شما با استفاده از تعدادی از بسته های آمار ، فرضیات شماره 4 ، شماره 5 و شماره 7 را برآورده می کند (برای کسب اطلاعات بیشتر ، به راهنماهای ما برای: SPSS آمار ، STATA و MINITAB مراجعه کنید). اگر هر یک از این هفت فرض نقض شده باشد (یعنی ملاقات نکرده است) ، اغلب تکنیک های تحلیل آماری دیگری نیز وجود دارد که می توانید انجام دهید که به شما امکان می دهد تا با تجزیه و تحلیل خود ادامه دهید (به عنوان مثال ، به Shevlyakov و Oja ، 2016 مراجعه کنید).

در صفحه بعد ما در مورد سایر خصوصیات همبستگی پیرسون که باید در نظر بگیرید بحث می کنیم.