قضیه الماس کولین

هندسه پروژکتور محدود زیربنای ساختار 35 الگوی مربع در R. T. Curtis Miracle Octad ژنراتور است ، و همچنین خصوصیات تقارن غافلگیرکننده برخی از طرح های گرافیکی ساده را توضیح می دهد- به عنوان مثال در لحاف ها.

شکل چهار قطبی که از 16 کاشی در یک آرایه 4x4 تشکیل شده است.

ما شکل چهار الماس D را در بالا به عنوان یک آرایه 4x4 از کاشی های مربع دو رنگ تقسیم شده در نظر می گیریم.

بگذارید G گروه 322. 560 جابجایی از این 16 کاشی تولید شده توسط خودسرانه مخلوط کردن مجوزهای تصادفی ردیف ها و ستون هایی با مجوزهای تصادفی از چهار ربع 2x2 باشد.

قضیه: هر تصویر G از D (مانند سمت راست ، در زیر) دارای تقارن معمولی یا تغییر رنگ است.

نمونه ای از جایگشت گرافیکی.

برخی از الگوهای ناشی از عمل G بر D هزاران سال است که شناخته شده است. شاید جای تعجب آور باشد که روابط متقابل و تقارن الگوها فقط با استفاده از ریاضیات کشف شده اخیراً (نسبت به سن الگوهای)- به ویژه ، تئوری گروه های خودرویی از هندسه های محدود را می توان کاملاً توضیح داد.

با استفاده از این تئوری ، می توانیم با گفتن اینكه G به گروه Affine A در 4 فضای خطی بیش از GF (2) و 35 ساختار 840 = 35 x 24 G-Images D-Images از D ، خواص الگوهای را خلاصه كنیم ، خلاصه كنیم. در فضای پیش بینی 3 بعدی بیش از GF (2) به 35 خط ایزومورفیک هستند.

این را می توان با مشاهده 35 سازه به عنوان سه مجموعه از نمودارهای خط ، بر اساس سه پارتیشن از چهار مجموعه کاشی های دو رنگ مربع به دو مجموعه ، و نشانگر مکان این دو مجموعه کاشی مشاهده کرد. در الگوهای 4x4. خطوط نمودارهای خط ممکن است به صورت باینری اضافه شوند (یعنی 1+1 = 0). هر سه ست از نمودارهای خط به صفر-یعنی هر نمودار در سه ست ، مبلغ باینری دو نمودار دیگر در مجموعه است. بنابراین ، 35 مجموعه سه نمودار خط با 35 خط سه نقطه ای از PG 3-Space پروژکتور محدود (3،2) مطابقت دارد.

به عنوان مثال ، در اینجا نمودارهای خط برای ارقام فوق وجود دارد:

نمودارهای خط ساختار مربع ها را نشان می دهد.

در زیر نشان داده شده است که 15 نمودار خط ممکن است که از مجوزهای ردیف/ستون/چهارگوش حاصل می شود. این 15 نمودار ممکن است ، همانطور که در بالا ذکر شد ، به عنوان 15 نقطه از PG 3-فضایی پروژکتور (3،2) در نظر گرفته شود.

نسخه های گرافیکی 15 نقطه PG (3،2)

تقارن نمودارهای خط تقارن الگوهای دو رنگ را تشکیل می دهد.(یک اثبات نشان می دهد که یک الگوی نیمه مربع مثلثی دو رنگ 2nx2N با چنین نمودارهای خط باید دارای یک مرکز 2x2 با تقارن باشد و این تقارن باید توسط کل الگوی به اشتراک گذاشته شود.)

در میان 35 ساختار 840 آرایه 4x4 کاشی ، ارتوگونی بودن (به معنای ارتوگونی بودن مربع لاتین) مربوط به چسباندن خطوط در فضای پروژکتور محدود PG (3،2) است.

ما می توانیم مبالغ و محصولات را به گونه ای تعریف کنیم که تصویر های G از D یک ایده آل (1024 الگوی مشخص شده توسط همه "برش های افقی یا عمودی" که بدون وقفه هستند) ایجاد می کند. یک خانواده بی نهایت از چنین حلقه های "الماس" وجود دارد ، ایزومورفیک به حلقه های ماتریس بیش از GF (4).

اثبات از یک تکنیک تجزیه ساده اما ظاهراً جدید برای توابع در یک زمینه محدود استفاده می کند.

هندسه اساسی الگوهای 4x4 از نزدیک با ژنراتور اکتاد معجزه آسا. T. curtis- که در ساخت سیستم اشتاینر استفاده می شود (5،8،24)- و از این رو نیز مربوط به شبکه زالو است ، که ،همانطور که والتر فیت اظهار داشت ، "نسخه منفجر شده S (5،8،24) است."

35 الگوی مربع در اصلی (1976) MOG R. T. Curtis

همانطور که در ابتدا ارائه شد ، Curtis MOG مکاتبات بین 35 پارتیشن 8 مجموعه به دو مجموعه 4 و 35 الگوی نشان داده شده در بالا بود. این مکاتبات با اقدامات گروه ماتیو حفظ شد₂₄روی یک آرایه مستطیل شکل.

همان نمودارهای خطی که تقارن ارقام الماس نظرم را توضیح می دهد ، تقارن الگوهای مربع کورتیس را نیز توضیح می دهد. همان گروه تقارن ، از سفارش 322. 560 ، زیر نظر هر دو شکل الماس نظرم و الگوهای مربع MOG است. در قضیه الماس ، هندسه نمودارهای خط زیرین نشان می دهد که این گروه از فضای 4-فضای بیش از GF (2) است. در مقاله Curtis در سال 1976 این گروه ، تحت پوشش غیر جلومتریک 2 4 . A₈نشان داده شده است که زیر گروه تثبیت کننده اکتاد M است₂₄.

مقاله فوق نسخه گسترده ای از چکیده 79T-A37 ، "تغییر تقارن در یک حلقه الماس" ، توسط استیون اچ. کالین ، اعلامیه های انجمن ریاضی آمریکا ، فوریه 1979 ، صفحات A-193 ، 194 است.

R. T. Curtis. یک رویکرد ترکیبی جدید به متر₂₄وادمجموعه مقالات انجمن فلسفی کمبریج 79 (1976) ، 25-42.