برخی از خصوصیات اساسی توالی فیبوناچی دو دوره عمومی و لوکاس

در این مقاله ، ما تعمیم دنباله Horadam را در نظر می گیریم (< w_>) که توسط رابطه عود تعریف شده است (w _ = chi (n) w_+cw_ ) ، جایی که ( chi (n) = a ) اگر n یکنواخت باشد ، ( chi (n) = b) اگر n با شرایط اولیه دلخواه (w_ ) ، (w_ ) و اعداد واقعی غیر zero a ، b و c عجیب باشد. به عنوان یک مورد خاص ، با در نظر گرفتن شرایط اولیه 0 ، 1 و 2 ، B توالی ها را تعریف می کنیم (< u_>) و (< v_>) ، به ترتیب. هدف اصلی این مطالعه ، استخراج برخی از خصوصیات اساسی توالی ها است (< u _> ) , ( < v_>) و (< w_>) با استفاده از رویکرد ماتریس.

معرفی

تعمیم توالی هورادام (< w_>) توسط رابطه عود تعریف شده است

اگر n یکنواخت باشد ، ( chi (n) = a ) که اگر n با شرایط اولیه دلخواه عجیب باشد (w_ ) ، (w_ ) و nonzero واقعی عجیب است. اعداد A ، B و C. آنها به عنوان تعمیم بهترین توالی شناخته شده در ادبیات ، مانند دنباله HORADAM ، دنباله فیبوناچ ی-لوکاس ، دنباله K-fibonacci- K-lucas ، دنباله Pel l-Pel l-Lucas ، توالی ژاکوبستا ل-ژاکوبستا ل-لوکاس و غیره ظاهر شدند. در اینجا ما دنباله را می نامیم (< w_>) یک دنباله دو دوره ای هورادام. به طور خاص ، با در نظر گرفتن شرایط اولیه 0 ، 1 و 2 ، B ما این توالی ها را یک توالی فیبوناچی دو دوره کلی می نامیم () و توالی لوکاس دو دوره ای عمومی () ، به ترتیب.

برخی از نسخه های اصلاح شده دنباله (< w_>) توسط چندین نویسنده مورد مطالعه قرار گرفته است. برای مورد (w_ = 0 ) ، (w_ = 1 ) و (c = 1 ) ، دنباله (< w_>) به توالی فیبوناچی دو دوره ای کاهش می یابد ، و برخی از خصوصیات اساسی این دنباله را می توان در [4 ، 10 ، 18] یافت. دنباله همراه آن ، دنباله دو دوره لوکاس ، در [2 ، 6 ، 14 ، 15] مورد مطالعه قرار گرفت. برای مورد (c = 1 ) ، دنباله (< w_>) به دنباله دو دوره هورادام کاهش می یابد ، و چندین ویژگی از این دنباله در [4 ، 13] آورده شده است. برای تعمیم بیشتر دنباله (< w_>) ، ما به [1 ، 9] اشاره می کنیم.

از طرف دیگر ، روش ماتریس برای به دست آوردن برخی از خصوصیات شناخته شده فیبوناچی ، مانند هویت کاسینی ، هویت D'Ocagne و خاصیت Convolution بسیار مفید است. برای تاریخچه دقیق تکنیک ماتریس به [3 ، 7 ، 8 ، 11 ، 16 ، 17] مراجعه کنید. نمایندگی ماتریس (2 بار 2 ) برای مورد کلی دنباله (< w_>) ابتدا در [15] داده شد، و چندین ویژگی برای اصطلاحات شاخص زوج این دنباله به دست آمد. سپس، در [12]، نویسنده هویت ماتریسی جدیدی را برای دنباله فیبوناچی دو دوره ای به صورت زیر تعریف کرد:

S : = [ a b a b 1 0 ] ⇒ S n = ( a b ) ⌊ n 2 ⌋ [ b ζ ( n ) q n + 1 a ζ ( n ) b q n a − ζ ( n + 1 ) q n b ζ ( n ) q n − 1 ]،

جایی که (< q_>) دنباله فیبوناچی دو دوره ای و (zeta (n) ) تابع برابری است. با استفاده از این هویت ماتریسی، اثبات های ساده ای از چندین هویت اعداد فیبوناچی و لوکاس دو دوره ای ارائه شد. یکی از اهداف اصلی این مطالعه تعمیم هویت ماتریس (1. 2) برای دنباله (< w_> ) .

مشابه علامت گذاری دنباله هورادام کلاسیک در [5]، می توانیم چندین دنباله را بر حسب دنباله هورادام دو دوره ای تعمیم یافته بیان کنیم (< w_> :=) ( ) در جدول 1.

طرح کلی این مقاله به شرح زیر است: در بخش. 2، با الهام از هویت ماتریس (1. 2)، ما نمایش های ماتریس مشابهی را برای اعداد فیبوناچی دو دوره ای تعمیم یافته و اعداد لوکاس دو دوره ای تعمیم یافته ارائه می دهیم. سپس هویت ماتریس (1. 2) را به اعداد هورادام دو دوره ای تعمیم می دهیم. بنابراین، می توان با انتخاب مقادیر اولیه مناسب در فرمول ماتریس، بسیاری از هویت های ماتریس را توسعه داد. ما چندین ویژگی از این اعداد را با استفاده از رویکرد ماتریسی بیان می کنیم که یک اثبات بسیار ساده ارائه می دهد. بخش 3 به دستیابی به عبارات تعمیم یافته تر برای اعداد هورادام دو دوره ای تعمیم یافته با استفاده از روش ماتریس در [16] اختصاص دارد.

Matrix representations for (\>) , (\>) and (\> )

ابتدا ماتریس U را تعریف می کنیم: = [ a b c b a 0 ]. برای هر عدد صحیح غیر منفی n، با استفاده از استقرا، داریم

U n = ( a b ) ⌊ n 2 ⌋ [ b ζ ( n ) u n + 1 c b a − ζ ( n + 1 ) u n a ζ ( n ) u n c b ζ ( n ) u n − 1 ] ,

که در آن (u_) n امین عدد فیبوناچی دو دوره ای تعمیم یافته است. از آنجایی که ماتریس U معکوس است، پس

U − n = ( a b ) ⌊ n 2 ⌋ ( − a b c ) n [ c b ζ ( n ) u n − 1 − c b a − ζ ( n + 1 ) u n − a ζ ( n ) u n b ζ ( n ) u n + 1 ].

با استفاده از هویت ماتریس (2. 1) و استفاده از روشی مشابه [12، قضیه 1]، می توان نتایج زیر را به دست آورد که برخی از ویژگی های اساسی ( را ارائه می دهد.< u_>) . توجه داشته باشید که نتایج (1) - (3) را می توان در [18، قضیه 9] یافت، اما در اینجا ما این هویت ها را با استفاده از رویکرد ماتریسی به دست می آوریم.

لم 1

The sequence (\>) دارای هویت های زیر است:

اکنون برابری ماتریس را در نظر می گیریم

K : = 1 2 [ a b Δ 1 a b ] ⇒ K n = ( a b ) ⌊ n 2 ⌋ 2 [ a ζ ( n ) v n Δ a ζ ( n ) − 1 u n a ζ ( n ) − 1 u n a ζ ( n )v n ]،

جایی که (Delta :=a^b^+4abc

eq 0) . با استفاده از روش [12، قضیه 4]، می توان نتایج زیر را به دست آورد که برخی از روابط شامل اعداد فیبوناچی دو دوره ای تعمیم یافته و اعداد لوکاس دو دوره ای تعمیم یافته را به دست می دهد.

The sequences (\>) and (\>لم 2