تفاوت بین کواریانس و همبستگی چیست؟

توسط نیمرا اژاز ، به روز شده در 13 ژوئیه 2021 13 دقیقه خوانده شده

برای هر کسی که با داده کار می کند ، لازم است با مفاهیم آماری خاصی روبرو شوید. این شامل درک تفاوت بین همبستگی کواریانس در مقابل همبستگی است-موضوعی که ما در این راهنمای دوستانه مبتدی توضیح خواهیم داد.

در دنیای بزرگ داده های امروز ، ما با طیف گسترده ای از متغیرها برای انجام عملیات مختلف تجزیه و تحلیل داده ها سر و کار داریم. پیدا کردن روابط بین متغیرها به ما کمک می کند تا بینش های معناداری را استنباط کنیم که می تواند به سازمانها کمک کند تا تصمیمات آگاهانه تری بگیرند. به عنوان مثال ، آیا بین قدرت کروناویروس و وضعیت ایمنی یک شخص رابطه ای وجود دارد؟آیا می توانید این را تفسیر کنید؟به همین ترتیب ، آیا بین نرخ مالیات و رشد اقتصادی یک کشور رابطه وجود دارد؟چگونه می توانید این را توضیح دهید؟این نمونه ها از بررسی رابطه بین متغیرها را می توان با استفاده از ابزارهای تجزیه و تحلیل آماری مانند کواریانس و همبستگی اندازه گیری کرد.

در این پست ، تفاوت های کلیدی بین کواریانس و همبستگی را کشف خواهیم کرد. قبل از غواصی به جزئیات ، ابتدا درک اساسی از معنی کواریانس و همبستگی خواهیم گرفت. ما پوشش خواهیم داد:

آیا شما آماده یادگیری برخی از متداول ترین (و مفیدترین روش های تحلیل آماری) هستید؟بیا بریم.

1. کواریانس چیست؟

کواریانس یک اندازه گیری کمی از میزان انحراف یک متغیر (x) از میانگین آن با انحراف متغیر دیگر (Y) از میانگین آن است. برای ساده سازی ، کواریانس تنوع مشترک دو متغیر تصادفی را اندازه گیری می کند. به عنوان مثال ، اگر مقادیر بیشتر یک متغیر تمایل به مطابقت با مقادیر بیشتر متغیر دیگر داشته باشد ، این نشان دهنده کواریانس مثبت است. ما به زودی انواع مختلفی از کواریانس را کشف خواهیم کرد. اول ، بیایید ببینیم که چگونه کواریانس از نظر ریاضی محاسبه می شود.

فرمول کواریانس

فرمول کواریانس نقاط داده را از مقدار متوسط آنها در یک مجموعه داده محاسبه می کند. به عنوان مثال ، کواریانس بین دو متغیر تصادفی X و Y را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد:

• Xi بیانگر مقادیر متغیر X است
• یی نشان دهنده مقادیر متغیر y است
• X میانگین (میانگین) متغیر x را نشان می دهد
• y میانگین (میانگین) متغیر y را نشان می دهد
• n تعداد نقاط داده را نشان می دهد

انواع مختلف کواریانس چیست؟

کواریانس می تواند هم مقادیر مثبت و هم منفی داشته باشد. بسته به مقادیر متنوع ، دو نوع اصلی وجود دارد: کواریانس مثبت و منفی.

کواریانس مثبت

کواریانس مثبت به معنای هر دو متغیر (x ، y) در همان جهت حرکت می کند (یعنی رفتار مشابهی را نشان می دهد). بنابراین ، اگر به نظر می رسد مقادیر بیشتر یک متغیر (x) با مقادیر بیشتر متغیر دیگر (y) مطابقت داشته باشد ، متغیرها در نظر گرفته می شوند که دارای کواریانس مثبت هستند. این به شما چیزی در مورد رابطه خطی بین دو متغیر می گوید. به عنوان مثال ، اگر افزایش قد شخص با افزایش وزن فرد مطابقت داشته باشد ، کواریانس مثبت بین این دو وجود دارد.

کواریانس منفی

کواریانس منفی به معنای هر دو متغیر (x ، y) در جهت مخالف است. برخلاف کواریانس مثبت ، اگر مقادیر بیشتر یک متغیر (x) با مقادیر کمتری متغیر دیگر (Y) و برعکس مطابقت داشته باشد ، در این صورت متغیرها دارای کواریانس منفی هستند.

این رقم نشان می دهد که چگونه کواریانس X و Y ممکن است در مورد کواریانس مثبت ، کواریانس منفی و کواریانس ضعیف به نظر برسد:

Case 1 where (x,y) >0: اگر (x ، y) از صفر بیشتر باشد (یعنی اگر x به طور متوسط بیشتر از میانگین آن باشد وقتی y بیشتر از میانگین آن است و به طور مشابه ، اگر x به طور متوسط کمتر از میانگین آن باشد وقتی y است. کمتر از میانگین آن) ، سپس کواریانس برای هر دو متغیر مثبت است و در یک جهت حرکت می کند.

مورد 3 که در آن (x ، y) = 0: اگر (x ، y) صفر است ، هیچ ارتباطی بین دو متغیر وجود ندارد.

ماتریس کواریانس چیست؟

برای داده های چند بعدی ، از نظر ماتریس کواریانس ، تعمیم کواریانس را اعمال می کند. ماتریس کواریانس همچنین به عنوان ماتریس واریانس کواریانس شناخته می شود ، زیرا مقادیر مورب ماتریس کواریانس واریانس را نشان می دهد و مقادیر دیگر کواریانس هستند. ماتریس کواریانس یک ماتریس مربع است که می تواند به شرح زیر نوشته شود:

در صورت وجود نقاط داده با میانگین صفر ، می توان ماتریس کواریانس را با استفاده از یک ماتریس نیمه دیفینیت محاسبه کرد ، یعنی xxt به شرح زیر:

به عبارت ساده ، ماتریس کواریانس برای داده های دو بعدی می تواند به شرح زیر باشد:

• C نشان دهنده ماتریس کواریانس است
• (x ، x) و (y ، y) واریانس متغیر x و y را نشان می دهد
• (x ، y) و (y ، x) نشان دهنده کواریانس x و y

متغیرهای متغیر هر دو متغیر X و Y از نظر ماهیت کمتری دارند. در ریاضیات ، رفت و آمد به این معنی است که مقادیر را می توان در فرمول جابجا کرد و جواب هنوز یکسان خواهد بود ، بنابراین (x ، y) = (y ، x). بنابراین ، ماتریس کواریانس متقارن است.

ماتریس کواریانس برای چه چیزی استفاده می شود؟

متداول ترین موارد استفاده ماتریس کواریانس به شرح زیر است:

• فاصله Mahalanobis: فاصله Mahalanobis با استفاده از معکوس ماتریس کواریانس محاسبه می شود.
• فیلترهای کالمن: فیلترهای کالمن ، یا فیلتر کالمن ، الگوریتمی است که برآوردهای متغیرهای ناشناخته خاصی را بر اساس اندازه گیری های مشاهده شده در طول زمان ارائه می دهد. میانگین وزنی محاسبه شده با استفاده از ماتریس کواریانس به پیش بینی وضعیت جدید سیستم موجود در حالت پیش بینی شده و اندازه گیری شده کمک می کند.
• مدل های مخلوط گاوسی: ماتریس کواریانس می تواند برای تفسیر شکل یک خوشه طبیعی چند متغیره ، درگیر در مدل های مخلوط گاوسی استفاده شود.
• PCA (تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی): PCA (تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی) از ماتریس کواریانس به منظور اعمال تحولات برای کوچک کردن مجموعه داده ها در مجموعه ای از ویژگی های متعامد استفاده می کند. در اینجا توضیحی عمیق درباره تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی پیدا خواهید کرد.

اکنون می دانیم که کواریانس چیست و چه چیزی ممکن است برای آن استفاده شود ، بیایید به همبستگی برویم.

2. همبستگی چیست؟

تا کنون ، ما مشخص کرده ایم که کواریانس نشان می دهد که دو متغیر تصادفی تا چه اندازه در پشت سر هم افزایش یا کاهش می یابد. همبستگی هم قدرت و هم جهت این رابطه را به ما می گوید. همبستگی بهترین استفاده برای متغیرهای متعدد است که رابطه خطی با یکدیگر را بیان می کنند. وقتی ما همبستگی بین دو متغیر را فرض می کنیم ، در اصل استنباط می کنیم که تغییر در یک متغیر بر تغییر در متغیر دیگر تأثیر می گذارد. همبستگی به ما کمک می کند تا تعیین کنیم که آیا تغییر در متغیرهای مختلف به یکدیگر مربوط می شود یا نه.

انواع همبستگی

همبستگی بر اساس مقادیر متنوع به انواع زیر طبقه بندی می شود: همبستگی مثبت ، همبستگی منفی و هیچ همبستگی. بیایید اکنون آنها را کشف کنیم.

همبستگی مثبت

اگر مستقیماً متناسب باشند ، دو متغیر همبستگی مثبت دارند. یعنی اگر مقدار یک متغیر افزایش یابد ، مقدار متغیر دیگر نیز افزایش می یابد. یک همبستگی مثبت کامل دارای مقدار "1" است. در یک نمودار ، همبستگی مثبت به شرح زیر است:

همبستگی منفی

یک همبستگی منفی کامل دارای مقدار "-1" است به این معنی که با افزایش مقدار یک متغیر ، مقدار متغیر دوم کاهش می یابد (و برعکس). در فرم نمودار ، این چگونه همبستگی منفی به نظر می رسد:

صفر یا بدون همبستگی

مقدار "0" بیانگر این است که هیچ ارتباطی وجود ندارد. این نشان می دهد که هیچ ارتباطی بین دو متغیر وجود ندارد ، بنابراین افزایش یا کاهش در یک متغیر با افزایش یا کاهش متغیر دیگر ارتباط ندارد. نمودار نشان دهنده همبستگی صفر ، بر خلاف یک خط روشن ، توزیع تصادفی از نقاط داده را دنبال می کند:

این جدول به طور کامل میزان همبستگی بین دو مقدار را نشان می دهد.

ضریب همبستگی چیست؟

همبستگی با استفاده از روشی که به عنوان "همبستگی محصول-لحظه پیرسون" یا به سادگی "ضریب همبستگی" شناخته می شود محاسبه می شود. همبستگی معمولاً با حرف ایتالیایی r مشخص می شود. فرمول زیر به طور معمول برای یافتن R برای دو متغیر x و Y استفاده می شود.

• R نشان دهنده ضریب همبستگی است
• XI مقدار متغیر X را در نمونه داده نشان می دهد
• x میانگین (میانگین) مقادیر متغیر x را نشان می دهد
• yi نشان دهنده مقدار متغیر y در نمونه داده است
• y میانگین (میانگین) متغیر y را نشان می دهد

روشهای جایگزین برای محاسبه ضریب همبستگی

علاوه بر همبستگی لحظه ای محصول پیرسون ، برخی از تکنیک های جایگزین که در محاسبه ضریب همبستگی مفید هستند عبارتند از:

ماتریس همبستگی چیست؟

ما از ضرایب همبستگی برای تعیین رابطه بین دو متغیر استفاده می کنیم ، به عنوان مثال ، برای یافتن تعداد ساعاتی که دانش آموز باید برای تکمیل یک پروژه در جدول زمانی مورد نظر ، کار کند. اما اگر بخواهیم همبستگی بین چندین جفت متغیر را ارزیابی کنیم ، چه می شود؟سپس از یک ماتریس همبستگی استفاده می کنیم.

یک ماتریس همبستگی در اصل یک جدول است که ضرایب همبستگی را برای متغیرهای مختلف نشان می دهد. ردیف ها و ستون ها حاوی مقدار متغیرها هستند و هر سلول ضریب همبستگی را نشان می دهد.

مثال:

در ماتریس همبستگی زیر ، می توان ضریب همبستگی را برای هر ترکیب احتمالی متغیرها مشاهده کرد. در این مثال ، ما در حال بررسی هستیم:

• ساعتهای صرف ورزش (در هفته)
• سطح تناسب اندام قلبی
• قد
• سن

اگر دو متغیر را "ساعتهای انجام شده در ورزش" و "سطح آمادگی جسمانی" در نظر بگیرید ، خواهید دید که ضریب همبستگی 0. 82 است. این نشانگر همبستگی مثبت قوی بین دو متغیر است - که معنی دارد ، درست است؟هرچه بیشتر ورزش کنید ، بیشتر انتظار دارید که تناسب اندام قلبی شما افزایش یابد. در عین حال ، ضریب همبستگی هنگام مقایسه "ساعاتی که انجام می شود" با "قد" 0. 03 است ، نشان می دهد که هیچ ارتباطی بین قد کسی و چند بار ورزش وجود ندارد.

ماتریس همبستگی مورد استفاده چیست؟

از نظر عملی ، از ماتریس همبستگی برای تجزیه و تحلیل مشکلات مختلف داده محور استفاده می شود. چند مورد استفاده متداول شامل موارد زیر است:

• به راحتی محاصره مجموعه داده ها: برای مجموعه داده های بزرگ حاوی هزاران ردیف ، ماتریس همبستگی یک روش مؤثر برای جمع بندی همبستگی بین متغیرهای مختلف آن مجموعه داده است. رابطه بین دو متغیر را می توان با نگاه به داده های خام در ماتریس به راحتی تفسیر کرد.
• برای انجام آزمایش رگرسیون: تعبیر چند خطی خطی دشوار است وقتی که دو متغیر مستقل در مجموعه داده ها بسیار همبسته هستند. دو متغیر که بسیار همبستگی دارند می توانند به راحتی با استفاده از یک ماتریس همبستگی قرار بگیرند ، زیرا ساختار مناسب آن به تشخیص سریع و آسان کمک می کند.
• ورودی برای تجزیه و تحلیل های مختلف: روش های تجزیه و تحلیل مانند مدلهای معادله ساختاری می توانند از ماتریس همبستگی به عنوان ورودی برای فرآیند محاسبه خود استفاده کنند.

3. همبستگی کواریانس در مقابل: تفاوت چیست؟

اکنون می دانیم که همبستگی و همبستگی چیست ، بیایید تفاوت این دو را در نظر بگیریم.

همانطور که قبلاً توضیح داده شد ، کواریانس نشان می دهد که میزان دو متغیر با توجه به یکدیگر متفاوت است ، در حالی که همبستگی قدرت و جهت این رابطه را تعیین می کند. کواریانس و همبستگی با یکدیگر به هم پیوسته اند. به زبان ساده ، همبستگی به نسخه مقیاس شده کواریانس اشاره دارد. این بدان معنی است که همبستگی یک مورد خاص از کوواریانس است که می تواند هنگامی که داده ها به صورت استاندارد شده است ، حاصل شود.

تفاوتهای کلیدی بین کواریانس و همبستگی را می توان به شرح زیر خلاصه کرد:

• آنها چه چیزی را اندازه گیری می کنند؟کواریانس اندازه گیری می کند که آیا تغییر در یک متغیر منجر به تغییر در متغیر دیگر می شود. به عنوان مثال ، با نگاهی به این که آیا افزایش یک متغیر منجر به افزایش ، کاهش یا تغییر در متغیر دیگر می شود. همبستگی جهت و همچنین قدرت رابطه بین دو متغیر را اندازه گیری می کند (یعنی این دو متغیر به شدت به یکدیگر مرتبط هستند).
• محدودیت های روابط: کواریانس با رابطه خطی تنها دو متغیر در مجموعه داده ها سروکار دارد ، در حالی که همبستگی می تواند شامل دو یا چند متغیر یا مجموعه داده ها و روابط خطی آنها باشد.
• دامنه ارزش: اگرچه هر دو ضریب همبستگی و کواریانس اقدامات مربوط به ارتباط خطی هستند ، ضرایب همبستگی استاندارد شده است ، بنابراین یک مقدار مطلق در یک محدوده مشخص ا ز-1 تا 1 نشان می دهد. از طرف دیگر ، مقادیر کواریانس استاندارد نیستند و از یک دامنه نامشخص استفاده می کننداز -∞ به +∞ ، که باعث می شود تفسیر کواریانس کمی مشکل باشد.
• واحدهای اندازه گیری: همبستگی بدون بعد است ، یعنی این یک اندازه گیری بدون واحد از رابطه بین متغیرها است. در مقابل ، کواریانس در واحدهایی است که با ضرب واحد یک متغیر توسط واحد متغیر دیگر تشکیل می شود.
• تغییر در مقیاس: کواریانس تحت تأثیر تغییر در مقیاس قرار می گیرد ، یعنی اگر تمام مقادیر یک متغیر توسط یک ثابت ضرب شوند و تمام مقادیر متغیر دیگر با یک ثابت مشابه یا متفاوت ضرب می شوند ، پس کواریانس تغییر می یابد. در مقابل ، همبستگی تحت تأثیر تغییر مقیاس قرار نمی گیرد.

4- چگونه کواریانس و همبستگی مربوط به تجزیه و تحلیل داده ها است؟

آمار پایه و اساس بسیاری از روش ها و تکنیک های تجزیه و تحلیل داده ها را تشکیل می دهد. برخی از موارد استفاده متداول کواریانس و همبستگی در زمینه تجزیه و تحلیل داده ها شامل موارد زیر است:

• مقایسه نمونه ها از دو یا چند جمعیت متفاوت. این مفید است زیرا در تجزیه و تحلیل روندها و الگوهای مشترک در نمونه های مختلف کمک می کند.
• در صنایع داده محور ، کواریانس و همبستگی در شناسایی داده های چند متغیره به منظور پردازش داده ها و انجام مؤثر عملیات تحلیلی کمک می کنند.
• همبستگی یک روش کلیدی برای بررسی روابط بین دو متغیر قبل از اجرای مدل سازی آماری است.
• PCA (تجزیه و تحلیل مؤلفه اصلی) با استفاده از کواریانس و همبستگی به منظور کوچک کردن ابعاد مجموعه داده های بزرگ برای تقویت تفسیر اجرا می شود. دانشمندان داده از PCA برای انجام تجزیه و تحلیل پیش بینی و تجزیه و تحلیل داده های اکتشافی استفاده می کنند.
• فرآیندهای تحلیلی مانند تجزیه و تحلیل چند متغیره و انتخاب ویژگی با استفاده از روشهای کواریانس و همبستگی انجام می شود.

5- غذای اصلی و خواندن بیشتر

در این پست ، ما در مورد دو مفهوم کلیدی بحث کرده ایم: کواریانس و همبستگی. ما به بررسی انواع مختلف روابط ، ماتریس کواریانس ، ماتریس همبستگی ، ویژگی های مشترک و موارد استفاده آنها و همچنین تفاوت های احتمالی بین این دو رسیدیم. در اینجا مهمترین چیزها وجود دارد.

• کواریانس و همبستگی دو ابزار آماری هستند که از نظر ماهیت بسیار مرتبط هستند اما متفاوت هستند. هر دو تکنیک رابطه بین متغیرهای تصادفی را تفسیر می کنند و نوع وابستگی بین آنها را تعیین می کنند.
• کواریانس اندازه گیری همبستگی است ، در حالی که همبستگی یک نسخه مقیاس یافته از کواریانس است. این بدان معنی است که همبستگی یک مورد خاص از کوواریانس است که می تواند هنگامی که داده ها به صورت استاندارد شده انجام شود ، حاصل شود.
• کواریانس جهت رابطه بین دو متغیر را به ما می گوید ، در حالی که همبستگی نشانه ای از رابطه بین دو متغیر را علاوه بر جهت متغیرهای همبسته ، نشان می دهد.
• مقادیر همبستگی از 1 تا 1 متغیر است. از طرف دیگر ، مقادیر کواریانس می تواند از این مقیاس فراتر رود ، از +-∞ تا +.
• همبستگی و همبستگی بسته به مقادیر متغیرها می توانند مثبت یا منفی باشند.
• یک کواریانس مثبت همیشه به یک همبستگی مثبت منجر می شود و یک کواریانس منفی همیشه یک همبستگی منفی را به وجود می آورد. این به این دلیل است که ضریب همبستگی تابعی از کواریانس است.

مفاهیم آماری پایه و اساس بسیاری از تجزیه و تحلیل داده ها و تکنیک های علوم داده را تشکیل می دهند. برای اینکه دست خود را در برخی از تجزیه و تحلیل داده های ساده با یک مجموعه داده واقعی امتحان کنید ، این دوره کوتاه داده های پنج روزه رایگان را به شما اختصاص دهید. و برای راهنماهای مفیدتر ، موارد زیر را بررسی کنید:

کاری که اکنون باید انجام دهید

با تجزیه و تحلیل داده ها ، یک معرفی مفید را انجام دهید و اولین تجزیه و تحلیل خود را با دوره کوتاه تجزیه و تحلیل داده های خود گام به گام انجام دهید.

با کارشناسان صنعت در یکی از رویدادهای تجزیه و تحلیل داده های آنلاین آنلاین ما شرکت کنید و در مورد سفر آزاده از معلم مدرسه به تحلیلگر داده بخوانید.

فقط در 4-7 ماه به یک تحلیلگر داده واجد شرایط تبدیل شوید-کاملاً با ضمانت شغلی.

سال نو ، حرفه جدید! در ماه ژانویه ، ما 100 بورس تحصیلی جزئی به ارزش 1،535 دلار از برنامه های تغییر شغلی خود ارائه می دهیم آموزش کار در فارکس...