حجم یک مخروط - سوالات تعریف، فرمول، اشتقاق و تمرین

یک شکل سه بعدی با پایه صاف، معمولا یک پایه دایره ای، در هندسه به عنوان مخروط شناخته می شود. به عبارت دیگر، مخروط یک هرم با پایه دایره ای است. مخروط ها با استفاده از مجموعه ای از خطوط یا قطعات خطی تشکیل می شوند که راس یا راس (نقاط مشترک) را با یک پایه دایره ای به هم وصل می کنند. ما در زندگی روزمره نمونه های رایجی از مخروط ها در اطراف خود داریم، مانند قیف، درخت کریسمس، مخروط بستنی، نوک مداد یا خودکار، برجک قلعه، مگافون و غیره.

در این مقاله با مخروط، حجم مخروط به همراه فرمول، مشتق و نمونه سوالات آن بیشتر آشنا می شویم.

تعریف: حجم مخروط

طبق تعریف، حجم مخروط مقدار ظرفیت یا فضای اشغال شده توسط یک مخروط در یک صفحه سه بعدی یا سه بعدی است. مخروط دارای یک پایه دایره ای است که از شعاع و قطر ساخته شده است و بالاترین قسمت آن با ارتفاع آن اندازه گیری می شود. بیشتر به یک مخروط مایل و یک مخروط دایره راست طبقه بندی می شود.

• مخروطی با راس بالای مرکز قاعده به عنوان مخروط دایره ای راست شناخته می شود.
• مخروطی که به سمت بالا خم می شود و راس آن روی قاعده قرار ندارد به عنوان مخروط مورب شناخته می شود.

با این حال، فرمول حجم مخروط دایره راست، مخروط منظم و مخروط مایل همیشه یکسان است. علاوه بر این، از واحدهای مکعبی برای اندازه گیری حجم مخروط هایی مانند m 3، cm 3، در 3 و غیره استفاده می شود.

فرمول حجم مخروط

مخروط دارای یک پایه دایره ای و یک راس منفرد است. بنابراین با ارتفاع یا شیب ارتفاع و شعاع مخروط به راحتی می توانید حجم مخروط را محاسبه کنید. در اینجا فرمول برای یافتن حجم مخروط وجود دارد:

حجم = V = (1/3) πr 2 h واحد مکعب

⇒ r شعاع پایه مخروط است ⇒ h ارتفاع مخروط ⇒ L ارتفاع شیب مخروط ⇒ π برابر با 3. 14 ⇒ 1/3 ظرفیت سیلندر است که در داخل مخروط قرار می گیرد.

فرمول حجم مخروط: ارتفاع و شعاع

با اندازه گیری ارتفاع و شعاع پایه، از فرمول زیر برای یافتن حجم مخروط استفاده کنید:

حجم = V = (1/3) πr 2 h واحد مکعب

فرمول حجم مخروط: ارتفاع و قطر

برای محاسبه حجم یک مخروط زمانی که اندازه های ارتفاع و قطر پایه آن را داریم از فرمول زیر استفاده می کنیم:

حجم = V = (1/12) πd 2 ساعت واحد مکعب

حجم مخروط فرمول: ارتفاع مایل

برای یافتن رابطه بین ارتفاع شیب و حجم مخروط، باید قضیه فیثاغورث را روی مخروط اعمال کنیم.

طبق قضیه فیثاغورث،

• h = ارتفاع مخروط
• r = شعاع قاعده مخروط
• L = ارتفاع مایل مخروط

بنابراین ، از نظر ارتفاع شیب ، حجم مخروط به این صورت داده می شود:

حجم = v = (1/3) πr 2 √ (l 2 - r 2)

چگونه حجم فرمول مخروط حاصل شد؟

در اینجا فعالیتی وجود دارد که به شما نشان می دهد که چگونه فرمول حجم از حجم یک سیلندر بدست آمده یا به دست آمده است. بگذارید فعالیت و جزئیات را طی کنیم:

یک سیلندر و سه مخروط با همان ارتفاع و شعاع پایه بگیرید. هر سه مخروط را با آب پر کنید. اضافه کردن آب از مخروط در ظرف استوانه ای یک به یک. یک مخروط را یک بار خالی کنید و مشاهده کنید که هنوز فضای خالی در سیلندر باقی مانده است. پس از ریختن آب از هر سه مخروط در سیلندر ، متوجه خواهید شد که اکنون سیلندر یا ظرف کاملاً پر شده است. این نشان می دهد که حجم مخروط برابر با 1/3 یا یک سوم حجم سیلندر است که دارای همان ارتفاع و شعاع پایه است. بنابراین ، یک سوم محصول منطقه پایه دایره ای و ارتفاع مخروط برابر با حجم است. از نظر ریاضی ، به صورت:

⇒ V = 1/3 x مساحت پایه دایره ای ارتفاع مخروط با توجه به فرمول مساحت یک دایره ، پایه دایره ای مخروط برابر است با:

با قرار دادن مقدار منطقه در فرمول حجم ، ما دریافت می کنیم:

⇒ V = 1/3 x πr 2 x H

در اینجا می دانیم ، H ارتفاع ، r شعاع است و در واحدهای مکعب اندازه گیری می شود.

مراحل یافتن حجم مخروط

با استفاده از فرمول چند مرحله یا پارامتر برای محاسبه حجم مخروط وجود دارد.

توجه: مراحل داده شده را فقط در صورت شناختن قطر پایه ، ارتفاع ، شعاع پایه و ارتفاع شیب مخروط دنبال کنید.

1. پارامترهای ارائه شده در سؤال مانند R ، H ، D ، L را به ترتیب شعاع ، ارتفاع ، قطر و ارتفاع شیب مخروط بنویسید.
2. به عنوان مثال ، فرمولی را که مطابق با الزامات است ، اعمال کنید
   • با استفاده از شعاع پایه ⇒ v = (1/3) πr 2 ساعت
   • با استفاده از قطر پایه ⇒ V = (1/12) πd 2 ساعت
   • با استفاده از ارتفاع شیب و شعاع ⇒ V = (1/3) πr 2 √ (L 2 - R 2)
   • با استفاده از ارتفاع شیب و قطر ⇒ V = (1/12) πd 2 √ (L 2 - R 2)
3. همیشه جواب را در واحدهای مکعب بیان کنید.

سوالات تمرین کنید

در این بخش از مقاله ، ما چند نمونه با راه حل آنها آورده ایم تا به شما در درک مفاهیم فرمول حجم مخروط بسیار بهتر شود. برای کسب اطلاعات بیشتر و با سرعت خود ، توصیه می کنیم اکنون یک جلسه را با یک مدرس ریاضی آنلاین یا خصوصی رزرو کنید!

سوال مثال: حجم مخروط چقدر خواهد بود؟اگر ارتفاع و شعاع آن به ترتیب 10 سانتی متر و 5 سانتی متر باشد.

با توجه به این ، شعاع = r = 5 سانتی متر ارتفاع = ساعت = 10 سانتی متر با استفاده از فرمول

قرار دادن مقادیر در فرمول

⇒ V = (1/3) x 3. 14 x 5 2 x 10

از این رو ، حجم مخروط 262 سانتی متر 3 خواهد بود.

سؤال مثال: مك مخروطی بستنی مصنوعی دارد. قطر مخروط 7 در ارتفاع 12 است. از حجم مخروط بستنی مك مطلع شوید.(از π = 22/7 یا 3. 14 استفاده کنید)

قطر = d = 7 در ارتفاع = h = 12 در π = 22/7 = 3. 14 همانطور که می دانیم ، ⇒ r = d/2 = 7/2